akula_dolly (akula_dolly) wrote,
akula_dolly
akula_dolly

Categories:

Решение задачи и попутные замечания.

За первый час наш красавец  проходит двадцатую часть всего расстояния. При всех дальнейших растяжениях пути этот отрезок по-прежнему будет равен одной двадцатой пути, хоть и удлинившегося, - поскольку пройденная часть будет растягиваться вместе со всей дорогой. Запомним это.
На втором часу АД по прежнему проходит пять км, но путь уже равен 200 (подчеркиваю: 200 км - не оставшийся путь, а вся дорога, включая уже пройденное) - то есть за второй час проходится одна сороковая пути. И этот факт остается незыблемым до конца - повторим: за второй час проходится сороковая часть пути.
За третий :  пять км из трехсот - одна шестидесятая. За четвертый: пять км из четырехсот - одна восьмидесятая. И тд
Будем рассматривать "долю пути" - отношение пути, пройденного  принцем, ко всему расстоянию.
Итак, какую долю пути проходит герой за два часа? Помним:
1/20 +1/40 = 1/20(1+1/2)
Какая доля пути проходится за три часа?
1/20 +1/40 +1/60 = 1/20(1+1/2 + 1/3)
За четыре?
1/20 +1/40 +1/60 +1/80 = 1/20(1+1/2 + 1/3 + 1/4)
За  n  часов?
1/20 +1/40 +1/60 +1/80 +...+ 1/20n = 1/20(1+1/2 + 1/3 + 1/4 +...+1/n)
Выражение, стоящее в скобках, с ростом n неограниченно растет, хотя и довольно медленно. Это нетрудно доказать вполне элементарным путем. Так что оно рано или поздно станет  больше двадцати, то есть пройденный нашим дурачком путь даже превзойдет требуемый, так что ему придется остановиться чуть пораньше.
Для знакомых с начатками ВМ замечу, что сумма гармонического ряда растет примерно как натуральный логарифм n, так что скобка станет больше 20 при n большем, чем е в двадцатой степени. Это довольно большое число, так что топать бедняжке придется долго.
Мы сейчас соприкоснулись с теорией рядов, первые же результаты которой могут сильно удивить человека, способного удивляться. Предлагаю осмыслить следующие три примера.
1. Вы собираетесь вычерпать чайной ложечкой громадный бассейн с водой. Каждые полчаса вы выливаете из этого бассейна ложку воды.
Вопрос: вычерпаете ли вы когда-нибудь всю воду? Ответ: да, конечно, хотя и нескоро.  Зная объем бассейна, легко подсчитать, во сколько раз он больше объема ложечки, и результат умножить на полчаса.
2. Все то же самое, но вы в первый раз выливаете ложку, через полчаса - половину ложки, через полчаса - четверть, еще через полчаса - одну восьмую... Вычерпается ли бассейн?
Ответ: нет, не только бассейн, но и чайную чашку вы таким образом вычерпать не сможете. Общий объем вылитой воды не превзойдет двух чайных ложек.
3. Вы выливаете ложку, через полчаса - половину ложки, через полчаса - треть, еще через полчаса - четверть, еще через полчаса - пятую часть ложки , потом шестую и тд. Вычерпается ли бассейн за конечное время?
Ответ: ДА! - как это ни удивительно.
UPD. Для тех, кто понял решение, внесем в условия задачи некоторое усиление. А именно: как мне стало известно, на самом деле все было еще хуже. Злой Косорот не только растягивал дорогу каждый час на 100 км, нет, мало этого - он еще и прынца нашего злодейскими чарами  превратил в маленького червячка - так что, оказывается, Аленделон не шел со скоростью 5 км/час, а полз со скоростью 5 см/час. И все равно дополз!
Но, конечно, полз он долго. Мавруша прямо извелась вся.

Tags: Задачи
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments