akula_dolly (akula_dolly) wrote,
akula_dolly
akula_dolly

Category:

Возвращаясь к посту от 11 октября.

Напишу здесь решение  второй задачи - той, что полегче.
Разлагаем нашу разность на множители - сперва n за скобку, потом как разность квадратов, потом  еще раз как разность квадратов.
n^5-n=n(n^4-1)=n(n²-1)(n²+1)=(n-1) n (n+1) (n²+1)
Первые три сомножителя - три последовательных числа, следовательно одно из них делится на 3 и как минимум одно на 2. Следовательно, произведение делится на 6. Осталось показать, что оно делится на 5.
Напомню, что на 5 делятся те и только те числа, которые в десятичной записи оканчиваются на пятерку или ноль.
Из идущих подряд сомножителей
(n-1), n и  (n+1) какй-то один может, конечно, делиться на пять, и тогда у нас все в порядке. Но что если ни один не делится?  - присмотримся,  какие тогда могут быть последние цифры в их десятичной записи. Либо 1,2, 3, либо 2, 3, 4, либо 6,7,8, либо 7,8,9. (Во всех остальных случаях одно из них делится на пять).  То есть n может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8.
Легко видеть, что в каждом из  этих случаем 
n²+1 делится на 5. Ибо n² тогда оканчивается на 4 или 9, и, значит  n²+1  на 5 или 0. ЧТД.

Что касается первой, трудной задачи, она стоит того, чтобы даже узнав решение, еще над ней поразмыслить. Там фактически речь идет о парах чисел, произведение которых кратно их сумме.  Можно воспользоваться решением и сформулировать теорему о свойствах чисел такой пары. Можно и дальше пойти. Но это уже круто, не для жж.

Tags: Задачи
Subscribe

  • Еще легкая задачка на тему перевода

    Конечно, тут надо бы чуть-чуть польский знать, с этим в наших кругах хуже, чем с английским. Правда, ошибку, о которой речь, можно хотя бы…

  • Чего не понял переводчик -2

    Ну что, можно подвести итоги. Итак, всмотримся в ситуацию, как ее изображает переводчик. Застольный разговор, вопреки известному правилу хорошего…

  • Легкая загадка: чего тут не понял переводчик?

    Вот еще случай, когда причиной неудачного перевода становится не плохое знание языка, а отсутствие необходимых фоновых знаний. Я знаю, что многим это…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments